随机事件

1. 随机试验：具有三个特点：

① 可重复性： 可以在相同的条件下重复地进行；

② 可预知性： 每次试验的可能结果不止一个，且事先知道试验的所有可能结果；

③ 不确定性： 每次试验之前不能确定哪个结果会发生。

随机试验记为 E，如抛币试验、抽硬币试验、掷骰子试验、投签试验。

2. 样本空间

随机试验 E 的所有可能结果构成的集合称为 样本空间，记为 Ω 或 S。

如：

Ω = {正，反}
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. 样本点

样本空间 Ω 的每一个元素称为 样本点，记为 e 或 ω。

4. 随机事件

样本空间 Ω 的子集称为随机事件，记为 A、B、C，可简称为事件。

如：

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5} = “掷骰子出现奇数点”

注意：

① 事件 A 的发生： 当事件 A 中的某个样本点出现，就称事件 A 发生。

② 必然事件： 必然发生的事件，记为 Ω。

③ 不可能事件： 不可能发生的事件，记为 ∅。

事件之间的关系与运算

1. 事件的包含

A ⊆ B ⇔ 若事件 A 发生，则必导致事件 B 发生。

注意：A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A

2. 事件的和

A ∪ B 或 A + B ⇔
- A 发生或者 B 发生。
- A 与 B 至少发生一个。

注意：A ∪ B ∪ C ⇔ A、B、C 三事件中至少发生一个。

3. 事件的积

A ∩ B 或 AB ⇔
① 事件 A 发生且事件 B 发生；
② 事件 A、B 同时发生。

注意：A ∩ B ∩ C = ABC ⇔ A、B、C 均发生。

4. 事件的差

A - B ⇔ 事件 A 发生，但 B 不发生。

注意：
① A - B - C ⇔ 事件 A 发生，B、C 均不发生。
② 重要公式：A - B = A - AB

例如：

A - C = A - AC
A - BC = A - ABC

5. 互不相容事件（互斥事件）

A 与 B 互斥 ⇔ A ∩ B = ∅

6. 对立事件（互逆事件）

A 与 B 对立 ⇔
① A ∩ B = ∅
② A ∪ B = Ω

记为 A̅ = B, B̅ = A

注意：
① A - B = A - AB = A̅B
② A 与 B 对立 ⇒ A 与 B 互斥

7. 事件运算满足的定律

1° 交换律：

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

2° 结合律：

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3° 分配律：

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

4° 德摩根律（对偶律）：

A ∪ B = A̅ ∩ B̅
A ∩ B = A̅ ∪ B̅

口诀：“大扛变小扛，小扛变方向”

注意：

A̅ ∪ B̅ ∪ C̅ = A̅ ∩ B̅ ∩ C̅
A ∩ B ∩ C = A̅ ∪ B̅ ∪ C̅

例题

例：设 A、B、C 是三个事件，试用 A、B、C 表示下列事件：

A、B 都发生，C 不发生：
A B̅ C 或 A B ∩ C̅
A、B、C 恰有一个发生：
A B̅ C̅ ∪ A̅ B C̅ ∪ A̅ B̅ C
A、B、C 至少发生一个：
A ∪ B ∪ C
A、B、C 至少发生两个：
A B ∪ A C ∪ B C