质点运动学

位移、速度、加速度

位置矢量（位矢）

• 建立直角坐标系后，物体的位置可用坐标 $A(x,y,z)$ 表示。
• 向量 $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OA}$ 就称为位置矢量（位矢），也记为：
  $\overrightarrow{r}=xi+yj+zk$
  表示点 $(x,y,z)$ 的位置。

运动方程

• 原点坐标 $x,y,z$ 随时间的变化关系，将消掉时间 $t$ 即可。

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例题

已知质点的运动学方程为：
$\overrightarrow{r}=4t^{2}i+(2t+3)j$
则质点的运动方程为：

1. $x=4t^2$
2. $y=2t+3$

通过 $t=\frac{y-3}{2}$ 代入第一个方程，得到：
$x=4{\left(\frac{y-3}{2}\right)}^2$
化简得到：
$x=(y-3{)}^2$

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速度与速率

• 平均速度 $\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}$，平均速率是路程除以时间 $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$。

• 瞬时速度就是对每个坐标分量求导：
  $$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\overrightarrow{i}+\frac{dy}{dt}\overrightarrow{j}+\frac{dz}{dt}\overrightarrow{k}$$

• 瞬时速率是瞬时速度的大小：
  $$v=\left|\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\right|=\frac{ds}{dt}=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}$$

注意

不能写成 $\frac{dr}{dt}$ 或 $\frac{d|\overrightarrow{r}|}{dt}$。

• $|\mathrm{d}\overrightarrow{r}|=\mathrm{d}s$ 是正确的。

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例题

• 运动质点在某瞬时位于矢径 $\overrightarrow{r}=(x,y)$ 的端点处，其速度大小为：
  $$\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}$$

题目：

• 已知一质点在 $Oxy$ 平面内运动，运动学方程为 $x=2t$，$y=19-2t^2$，则在第 2 秒内质点的平均速度大小为 $2\sqrt{10}\mathrm{m}/\mathrm{s}$，第 2 秒末的瞬时速度大小为 $2\sqrt{17}\mathrm{m}/\mathrm{s}$。

加速度

• 平均加速度 $\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}$

• 瞬时加速度就是对每个速度分量求导：
  $$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d{v}_x}{dt}\hat{i}+\frac{d{v}_y}{dt}\hat{j}+\frac{d{v}_z}{dt}\hat{k}$$

• 注意：加速度与速度同号为加速，异号为减速，而不是正数加速，负数减速

位移、速度、加速度的互求

• $v=\frac{dx}{dt}$，$a=\frac{dv}{dt}$

• $v=v_0+{\int }_0^{t}a,dt$，$x=x_0+{\int }_0^{t}v,dt$

• 示意图：

  • 坐标 $(x,y,z)$ 与速度 $(v_x,v_y,v_z)$ 之间可以通过求导和积分互求。
  • 同样，速度 $(v_x,v_y,v_z)$ 与加速度 $(a_x,a_y,a_z)$ 也可以通过求导和积分互求。

圆周运动的参数

圆周运动的参数

• 切向与法向加速度
  • 加速度可以沿速度方向分解
  • 与速度方向平行的称为切向加速度，改变速度的 大小，$a_t=\frac{dv}{dt}$
  • 与速度方向垂直的称为法向加速度，改变速度的 方向，$a_n=\frac{v^2}{\rho }$
  • 其中 $\rho$ 为曲率半径，若为圆周运动则为半径

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【例】在半径为 $R$ 的圆周上运动的质点，其速度与时间关系为 $v=c{t}^2$，从 $0$ 时刻到 $t$ 时刻，质点走过的路程为 $s=\frac{1}{3}c{t}^3$；$t$ 时刻质点的切向加速度为 $a_t=2ct$，法向加速度为 $a_n=\frac{c^2{t}^4}{R}$，总加速度的大小为
$$a=\sqrt{(2ct{)}^2+{\left(\frac{c^2{t}^4}{R}\right)}^2}$$

圆周运动参数的互求

• $\omega =\frac{d\theta }{dt}$，$\alpha =\frac{d\omega }{dt}$

• $\omega ={\omega }_0+{\int }_0^t\alpha ,dt$，$\theta ={\theta }_0+{\int }_0^t\omega ,dt$

• 示意图：

  • 角位移 $(\theta )$ 与角速度 $(\omega )$ 之间可以通过求导和积分互求。
  • 同样，角速度 $(\omega )$ 与角加速度 $(\alpha )$ 也可以通过求导和积分互求。

角量与线量的关系

• 线速度 $v=\omega R$
• 法向加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^{2}R$
• 切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}=\alpha R$

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【例】一质点从静止出发，沿半径为 $R=1$ 的圆周运动，角加速度 $\alpha =12t^2-6t$，则质点的角速度 $\omega =4t^3-3t^2$，切向加速度 $a_t=12t^2-6t$，法向加速度 $a_n=(4t^3-3t^2{)}^2$，总加速度为 $a=\sqrt{(12t^2-6t{)}^2+(4t^3-3t^2{)}^2}$。

计算：

$$\omega ={\int }_0^6(12t^2-6t),dt=4t^3-3t^2$$

相对运动

• 若相对只有平动，则位移、速度、加速度都满足：
  • A的实际（绝对）= A相对B（相对）+ B的实际（牵连）

【例】某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？

• (A)北偏东30
• (B)南偏东30°
• ©北偏西30° True
• (D)西偏南30°